Решение задач по теории вероятности нейросетью онлайн

Всего шаров: 5 + 7 = 12. Благоприятных исходов (белый шар): 5.

Вероятность = 5/12 ≈ 0.4167 (около 41.67%).

Коротко о методе. В “классической” постановке считаем, что все элементарные исходы равновероятны.

Как решать задачи с тремя монетами

1) Уточните условия:

- монеты честные или с разными вероятностями орла p1, p2, p3;

- события независимы? (обычно да);

- что именно нужно: ровно k орлов, не меньше одного орла, условная вероятность и т. п.

2) Постройте пространство исходов.

- Если три честные монеты, один бросок каждой: всего 2^3 = 8 равновероятных последовательностей: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT.

3) Посчитайте благоприятные исходы и разделите на общее число.

- Для честных монет удобно сразу пользоваться сочетаниями: число последовательностей с k орлами равно C(3, k), поэтому

P(K = k) = C(3, k) / 2^3.

4) Используйте дополняющее событие и условную вероятность, если так короче.

- “Не меньше одного орла” = 1 − P(0 орлов).

- Условная: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Готовые формулы и примеры

- Честные монеты (p = 1/2):

  - Ровно k орлов: P(K = k) = C(3, k)/8. Например, P(ровно 2) = C(3,2)/8 = 3/8.

  - Хотя бы один орёл: 1 − P(0) = 1 − 1/8 = 7/8.

  - Не более одного орла: [C(3,0)+C(3,1)]/8 = (1+3)/8 = 1/2.

  - Условная: P(ровно 2 | хотя бы один) = (3/8)/(7/8) = 3/7.

- Нечестные монеты:

  - Если все три с одинаковой вероятностью орла p: P(K = k) = C(3, k) p^k (1 − p)^{3−k}.

  - Если вероятности разные p1, p2, p3:

    - Ровно 2 орла:

      p1 p2 (1−p3) + p1 (1−p2) p3 + (1−p1) p2 p3.

    - Хотя бы один орёл: 1 − (1−p1)(1−p2)(1−p3).

Типичные ошибки

- Считать “2 орла” как один исход. На самом деле это 3 разных последовательности (какие именно монеты дали орла).

- Для нечестных монет продолжать делить на 8. При разных p исходы уже не равновероятны, используйте произведения вероятностей.

- В условной вероятности не пересчитывать базовое пространство (надо делить на P(условия)).

Если приведёте конкретную формулировку задачи, решу её по этим шагам.

В стандартной колоде 52 карты, из них красных 26 (червы и бубны). Вероятность вытянуть одну красную карту при одном вытягивании:

26/52 = 1/2 = 0.5 = 50%.

Ниже — короткий алгоритм и пример решения по формуле полной вероятности.

Формула

Если H1, H2, …, Hn — попарно несовместные гипотезы, покрывающие все исходы (P(H1)+…+P(Hn)=1), то для любого события A:

P(A) = Σ P(A | Hi) · P(Hi), i=1..n.

Пошаговый алгоритм

1) Разбейте пространство на гипотезы Hi (сценарии), которые исключают друг друга и в сумме исчерпывают все случаи.

2) Найдите P(Hi) для каждого i.

3) Сформулируйте целевое событие A и найдите условные вероятности P(A | Hi).

4) Перемножьте и сложите: P(A) = Σ P(A | Hi)·P(Hi).

5) Проверьте, что Σ P(Hi)=1 и результат P(A) лежит в [0;1].

Пример

Задача. Есть 3 урны. Урна 1 выбирается с вероятностью 0.5 и содержит 2 белых и 3 чёрных шара. Урна 2 выбирается с вероятностью 0.3 и содержит 4 белых и 1 чёрный. Урна 3 выбирается с вероятностью 0.2 и содержит 1 белый и 1 чёрный. Случайно выбирают урну, затем из неё один шар. Найти вероятность вытащить белый шар A.

Решение по шагам:

- Гипотезы: H1 — выбрана урна 1; H2 — урна 2; H3 — урна 3.

- Их вероятности: P(H1)=0.5; P(H2)=0.3; P(H3)=0.2.

- Условные вероятности белого шара:

  P(A|H1)=2/5=0.4; P(A|H2)=4/5=0.8; P(A|H3)=1/2=0.5.

- По формуле полной вероятности:

  P(A)=0.4·0.5 + 0.8·0.3 + 0.5·0.2

      = 0.20 + 0.24 + 0.10

      = 0.54.

Ответ: 0.54 (54%).

Если пришлёте свою конкретную задачу (данные/условие), разберу её пошагово тем же методом.

Вероятность = число благоприятных исходов / общее число исходов.

В мешке 3 красных и 7 синих, всего 10 шаров. Благоприятных исходов (красный) — 3.

P(красный) = 3/10 = 0.3 = 30%.

Покажу на классическом примере.

Условие

- Есть две урны.

  - Урна A: 3 белых и 7 черных шаров ⇒ P(белый | A) = 3/10.

  - Урна B: 8 белых и 2 черных шара ⇒ P(белый | B) = 8/10.

- Сначала наугад выбирают урну (вероятности 1/2 и 1/2), затем вытягивают один шар. Оказался белым.

- Вопрос: какова вероятность, что шар из урны B?

Обозначения

- A — выбрана урна A, B — выбрана урна B, W — вытянули белый шар.

Решение по формуле Байеса

1) Приоры: P(A) = 1/2, P(B) = 1/2.

2) Правдоподобия: P(W | A) = 3/10, P(W | B) = 8/10.

3) Полная вероятность белого шара:

   P(W) = P(W | A)P(A) + P(W | B)P(B) = (3/10)(1/2) + (8/10)(1/2) = 11/20.

4) Постериоры:

   - P(B | W) = [P(W | B)P(B)] / P(W) = [(8/10)(1/2)] / (11/20) = 8/11 ≈ 0.727.

   - P(A | W) = [P(W | A)P(A)] / P(W) = [(3/10)(1/2)] / (11/20) = 3/11 ≈ 0.273.

Интерпретация

- Приор P(B) = 1/2 — до наблюдения белого шара урны равновероятны.

- Правдоподобие P(W | B) выше, чем P(W | A), поэтому наблюдение белого «переклоняет» веру в пользу урны B.

- Нормирующий множитель P(W) обеспечивает, что постериоры суммируются к 1.

Если урны выбираются неравновероятно

- Пусть P(A) = 0.7 и P(B) = 0.3. Тогда

  P(W) = 0.7·0.3 + 0.3·0.8 = 0.45,

  P(B | W) = (0.8·0.3)/0.45 = 8/15 ≈ 0.533.

Дополнение: два белых подряд (с возвращением), при равных приорах

- P(W,W | A) = (3/10)^2 = 0.09, P(W,W | B) = (8/10)^2 = 0.64.

- P(B | W,W) = [0.64·0.5] / ([0.64·0.5] + [0.09·0.5]) = 0.64 / 0.73 = 64/73 ≈ 0.877.

Шаблон решения для любых «урновых» задач:

1) Записать приоры P(урна i).

2) Посчитать правдоподобия P(наблюдение | урна i).

3) Найти P(наблюдение) по формуле полной вероятности (сумма по всем урнам).

4) Применить Байеса: P(урна i | наблюдение) = P(наблюдение | урна i)P(урна i) / P(наблюдение).